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\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Michele Serra, Sarah Tanja Hess \hfill Sommersemester~2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebraische Zahlentheorie \\
		\normalsize Blatt 5 \\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{TutorIn:} Mein(e) Lieblingstutor(in)
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}

	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate des Skriptes der \textit{Algebraischen Zahlentheorie} vorausgesetzt.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Aufgabe 5.1} \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}	
	\\[3pt] Bestimmen Sie die Klassengruppe von $\Z[\sqrt{10}]$. \\
	
	\textbf{Lösung:}
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 5.2} \hfill 	\textbf{[4 Punkte]}
	\\[3pt] Sei $L$ ein Zahlkörper des Grades $n:=[L:\Q]\in\N$, $\Omega$ die normale Hülle von $L/\Q$ und $\sigma_1,\ldots,\sigma_n$ die paarweise verschiedenen $\Q$-Einbettungen von $L$ in $\Omega$, sodass die ersten $s$ Einbettungen $\sigma_1,\ldots,\sigma_s$ reell und die weiteren $2t$ Einbettungen $\sigma_{s+1},\overline{\sigma_{s+1}},\ldots,\sigma_{s+t},\overline{\sigma_{s+t}}$ komplex sind für geeignete Zahlen $s,t\in\N_0$ mit $n=s+2t$. Sei ferner $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$ eine $\Q$-Basis von $L$ und betrachten Sie die Matrix $$A=\left(\begin{array}{c} v_1 \\ \vdots \\ v_n\end{array}\right)$$ mit
	$$v_i:=(\sigma_1(\alpha_i),\ldots,\sigma_s(\alpha_i),\mathrm{Re}(\sigma_{s+1}(\alpha_i)),\mathrm{Im}(\sigma_{s+1}(\alpha_i)),\ldots,\mathrm{Re}(\sigma_{s+t}(\alpha_i)),\mathrm{Im}(
	\sigma_{s+t}(\alpha_i)))\in\R^{s+2t}$$ für $i\in\{1,\ldots,n\}$. Zeigen Sie, dass $$\det(A)=\left(\frac{1}{2}i\right)^t\det(\mathcal{V})$$ mit $$\mathcal{V}:=\left(\begin{array}{cccccccc} \sigma_1(\alpha_1) & \cdots & \sigma_s(\alpha_1) & \sigma_{s+1}(\alpha_1) & \overline{\sigma_{s+1}(\alpha_1)} & \cdots & \sigma_{s+t}(\alpha_1) & \overline{\sigma_{s+t}(\alpha_1)} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
	\sigma_1(\alpha_n) & \cdots & \sigma_s(\alpha_n) & \sigma_{s+1}(\alpha_n) & \overline{\sigma_{s+1}(\alpha_n)} & \cdots & \sigma_{s+t}(\alpha_n) & \overline{\sigma_{s+t}(\alpha_n)}
	\end{array}\right)$$ gilt. \\
	
	\textbf{Lösung:} 
	
	\
	
	\newpage
	\textbf{Aufgabe 5.3} \hfill 	\textbf{[2+2 Punkte]}	
	\\[3pt] Sei $0<d\in\Z$ quadratfrei. 
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sei $d\equiv 2,3 \mod 4$. Beweisen Sie, dass die Gleichung $x^2-dy^2 = 1$ unendlich viele Lösungen besitzt.
		\item Sei $d\equiv 1 \mod 4$. Beweisen Sie, dass die Gleichung $x^2-dy^2 = 4$ unendlich viele Lösungen besitzt.
	\end{enumerate}

	 \textbf{Lösung:} 
	 \\
	 
	 \
	
	\textbf{Aufgabe 5.4*} \hfill 	\textbf{[1,5+1,5+1 Punkte]}	
	\\[3pt] Sei $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, $m,n\in\N$ und $A,B\in M_{m\times n}(R)$. Die Matrix $B$ entsteht durch \textit{elementare Zeilen- bzw.\ Spaltenumformungen} aus $A$, falls endlich viele der drei folgenden Operationen hintereinander auf $A$ ausgeführt wurden, um $B$ zu erhalten.
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Vertauschen zweier Zeilen bzw.\ Spalten von $A$.
		\item Multiplikation einer Zeile bzw.\ Spalte von $A$ mit einer Einheit $u\in R^\times$.
		\item Addition des $c$-fachen einer Zeile bzw.\ Spalte $i$ von $A$ zu einer Zeile bzw.\ Spalte $j$ von $A$ mit $c\in R$ und $i\neq j$.
	\end{enumerate}
	Sei $\mathrm{Span}(A)$ das durch die Zeilen von $A$ erzeugte Untermodul von $R^n$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass falls $B$ durch eine elementare Zeilenumformung aus $A$ entstanden ist, dann $R^n/\mathrm{Span}(A) \simeq R^n/\mathrm{Span}(B)$ gilt.
		\item Zeigen Sie, dass falls $B$ durch eine elementare Spaltenumformung aus $A$ entstanden ist, dann $R^n/\mathrm{Span}(A) \simeq R^n/\mathrm{Span}(B)$ gilt.
		\item Beschreiben Sie die Struktur von $\Z^3/\mathrm{Span}\{(6,10,0),(6,0,15),(0,10,15)\}$ als Produkt zyklischer Gruppen.
	\end{enumerate}

	\textbf{Lösung:} 
	
	\
		
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Donnerstag, den 22.\ Juli 2021, um 10:00 Uhr}, direkt an den Tutor / die Tutorin. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}